ζ 函數
Riemann 豫想
一般化された Riemann 豫想 (GHR)
擴張された Riemann 豫想 (ERH)
大 Riemann 豫想
深い Riemann 豫想 (deep Riemann hypothesis。DRH)
$ \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac 1{n^s}=\prod_{p\in 素數}\frac 1{1-p^{-s}},$ \frak{Re}(s)>1
$ \zeta(s)=\frac 1{\Gamma(s)}\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x-1}{\rm d}x
$ \zeta_K(s)=\sum_\frak{a}\frac 1{N(\frak{a})^s}=\prod_\frak{p}\frac 1{1-N(\frak{p})^{-s}},$ \frak{Re}(s)>1
$ L(\chi,s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\chi(n)}{n^s}=\prod_{p\in 素數}\frac 1{1-\chi(p)p^{-s}},$ \frak{Re}(s)>1
數列$ (a_n)に對して級數$ \sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^s}
$ \zeta(s,\alpha)=\sum_{n=0}^\infty\frac 1{(n+\alpha)^s}
$ h(x):=\frac 1 x-\lfloor\frac 1 x\rfloorの轉送作用素 (押し出し)$ G $ (Gf)(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac 1{(x+n)^2}f\left(\frac 1{x+n}\right)
$ \xi(s)=\xi(1-s),$ \xi(s):=\frac 1 2 s(s-1)\pi^{-\frac s 2}\Gamma\left(\frac s 2\right)\zeta(s)
$ \Xi(s)=\Xi(-s),$ \Xi(s):=\xi\left(\frac 1 2+si\right)
名前が同じなだけのもの
$ \zeta(a,b):=\begin{cases}1 & a\le b \\ 0 & {\rm otherwise}\end{cases}積分演算子
Möbius 函數$ \mu(x,y):=\begin{cases}1 & x=y \\ -\sum_{x\le z\le y}\mu(x,z) & x<y \\ 0 & {\rm otherwise}\end{cases}微分演算子 $ g(n)=\sum_{d|n}f(d)ならば$ f(n)=\sum_{d|n}\mu\left(\frac n d\right)g(d)
$ (f*g)(n):=\sum_{d|n}f(d)g\left(\frac n d\right)
$ 1(n)=1を$ \zetaとも書く
$ g=f+1\iff f=g*\mu
一の原始 n 乘根を$ \zeta_n=e^{\frac{2\pi i}n}と書く
圓單數$ 1-\zeta_n
$ L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f_\chi}\sum_{a=1}^{f_\chi}\overline{\chi(a)}\log|1-{\zeta_{f_\chi}}^a|